Juros Simples

Você me emprestaria R\$ 2000,00 agora para eu te devolver daqui 1 ano? Bom, provavelmente você deve ter parado para pensar um pouco a respeito, e, talvez levado em consideração alguns fatores, como por exemplo, risco de cŕedito, inflação, custo de oportunidade e remuneração. Esses fatores levam em consideração, respectivamente, aos seguintes fatos: Será que o pagamento será efetuado? Aquela bike que você pretende comprar agora, vai dar pra comprar daqui um ano? O que você deixou de fazer nesse período? Será que não é melhor receber um rendimento extra sobre esse valor? Todas essas perguntas estão interligadas a um conceito: Juros. Como eu sempre digo pros meus amigos, o Juro é traiçoeiro, por vezes ele é seu amigo, por vezes, seu inimigo, depende de com quem ele está andando. Neste caso, aplicar uma taxa de juros pode te beneficiar, mas aí vem a pergunta: Qual regime de capitalização devo aplicar? Simples ou Composto?

Juros Simples

O regime de capitalização simples, por definição, visa aplicar uma taxa de juros sobre o capital inicial da aplicação. No caso, ele varia de forma linear. Ou seja, o valor futuro ($FV$) à receber será o valor presente ($PV$) mais a uma taxa de juros aplicada sobre o capital inicial. Vamos observar o que acontece então mês a mês. No primeiro mês, temos que o valor futuro a se receber satisfará a seguinte relação:

$FV_1=PV + PV\;i$

Já no segundo mês, temos que o valor futuro a ser pago será o valor do capital inicial mais a taxa de juros correspondente ao segundo mês sobre o capital inicial, no caso:

$FV_2=FV_1+PV\;i=PV+PV\;i+PV\;i=PV(1+2i)$

Para o terceiro mês e sucessivamente então, teremos:

$FV_3=FV_2+PV\;i=PV(1+i)+PV\;i=PV(1+3i)$

$\vdots$

$FV_n=FV_{n-1}+PV\;i=PV(1+(n-1)i)+PV\;i=PV(1+in)$

É a relação geral para o Montante (valor futuro) no regime de capitalização por juros simples. Em nosso exemplo então, temos que, se fosse aplicado uma taxa ds de $10\%_{a.m.}$(ao mês), daqui 12 meses o valor emprestado de R\$ 2.000,00 seria devolvido com juros num total de R\$ 4.400,00. Ou seja, rendeu R\$ 2.400,00 de juros! $J = FV - PV$.

$FV_{12}=2000(1+0,1\cdot 12)=4.400,00$

 Ou seja, analisando bem parece que aceitar o empréstimo pode ser algo lucrativo. Mas, se fosse proposto uma taxa de juros de $10\%_{a.a}$(ao ano), será que renderia o mesmo? Bom, aplicando ao regime de Juros Simples, temos então:

$FV=2000(1+0,1)=2.000,00$

Note que aparentemente, apesar de ter rendido R\$ 200,00, em relação à taxa de juros anterior, não rendeu muito. Por isso, deve-se atentar às bases que estão sendo utilizadas. Lembre-se que a taxa de juros mensal deve estar proporcional ao número de meses, assim como a taxa de juro anual deve estar proporcional ao número de anos. Neste caso, se quiséssemos saber quanto que $10\%_{a.a.}$ equivale ao mês, podemos pensar matematicamente na seguinte relação:

$FV_{a.m}=FV_{a.a}$

Temos que o valor futuro obtido à juros mensais deve ser equivalente ao obtido à juros anuais. No caso, para descobrir a taxa mensal, basta substituir os valores nas relações e simplificar a equação, ou seja:

$FV_{a.m.}=FV_{a.a.}$

$PV(1+i_mn_m)=PV(1+i_an_a)$

$i_mn_m=i_an_a$

$i_m=\dfrac{i_an_a}{n_m}$

Não há a necessidade de se decorar a fórmula que encontramos quando você compreende de fato o que ela representa. Lembrando que $J=PV\cdot i \cdot n$, no regime simples basta pensar "se eu quero converser de ano em meses, eu sei que 1 ano corresponde a 12 meses, logo, 1 mês corresponde a 1/12 de um ano". Novamente um alerta que isso só funciona no regime simples pois, trata-se de um regime linear. Em nosso exemplo então, $10\%_{a.a}$ corresponde a $0,82\%_{a.m}$. Note que se multiplicar $0,0082\cdot 12$ retornamos à $0,1 = 10\%$.